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Institut für Mathematik       Universität Heidelberg

Gruppenschemata
Vorlesung von Christian Dahlhausen im Wintersemester 2023/24.
Mittwochs, 14:15--15:45 Uhr, Seminarraum B im Mathematikon (INF 205).
Übung: mittwochs, 11:15--12:45, Seminarraum 10 im Mathmatikon (INF 205).

Inhalt

Den Begriff einer (kommutativen) Gruppe axiomatisierend, können (kommutative) Gruppenobjekte in einer beliebigen Kategorie definiert und studiert werden. Gewöhnliche (kommutative) Gruppen sind dabei genau die (kommutativen) Gruppenobjekte in der Kategorie der Mengen. In dieser Vorlesung werden wir einen ersten Einblick in die Theorie der (kommutativen) Gruppenobjekte in der Kategorie der Schemata -- sogenannte (kommuative) Gruppenschemata -- erhaschen und das Zusammenspiel von Gruppentheorie und Schematheorie beobachten. Beispielsweise werden wir sehen, dass ein ganzes, eigentliches und glattes Gruppenschema über einem Körper bereits kommutativ ist.
Hier finden Sie die Anküdigung der Vorlesung.

Vorlesungen

Nr.DatumInhalt
118.10.Einführung und Überblick: Definition von Gruppenschemata, Beispiele, Hopf-Algebren, Untergruppenschemata, Plan für die Vorlesung.
225.10.Nützliche Aussagen über Schemata: geometrisch reduzierte Schemata, flache und treulache Morphismen, treuflacher Abstieg.
308.11.Reguläre und glatte Schemata über Körpern: Tangentialraum, reguläre Schemata, glatte Morphismen, deren Zusammenhang.
415.11.Gruppenschemata über Körpern: grundlegende Eigenschaften, Starrheitslemma, abelsche Varietäten sind kommutativ.
522.11.Gruppenschemata über Körpern: Einheitskomponente und Zusammenhangskomponenten, Dimensionsformel für Kern und Bild eines Morphismus.
629.11.Differentiale & Glattheit: Definition der Kähler-Differentiale, Zusammenhang mit Glattheit, Differentiale auf Gruppenschemata.
713.12.Schemata als Funktoren: Konstruktion der Kategorie der Schemata intern der Kategorie der Prägarben auf affinen Schemata.
810.01.Die fppf-Topologie und algebraische Räume: Definition der fppf-Topologie, darstellbarer Morphismen von Prägarben und algebraischer Räume.
917.01.Algebraische Räume und Faktorgruppenschemata: algebraische Räume als Differenzkokerne étaler Äquivalenzrelationen, Faktorgruppen sind homogene Räume.
1024.01.Faktorgruppenschemata und Cartier-Dualität: homogene Räume sind fppf-lokal Faktorgruppen, Beweis von Cartier-Dualität.
1131.01.Elliptische-Kurven: Geschlecht, Divisoren, Riemann_Roch, elliptische Kurven = abelsche Varietäten von Dimension 1.
1207.02.Elliptische Kurven: Gruppengesetz und Weierstraß-Gleichungen.





















Übungsblätter

Blatt 1, Blatt 2, Blatt 3, Blatt 4, Blatt 5, Blatt 6, Blatt 7, Blatt 8, Blatt 9, Blatt 10, Blatt 11.

Organisatorisches